Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 z^{2} - 2 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \div \frac{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}{2 z^{2} + 13 z + 15}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 z^{2} - 2 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 2 (z) - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 2$ como $3$ más $- 5$

$\frac{3 z^{2} + (3 - 5) z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 z^{2} + 3 z - 5 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 z^{2} + 3 z) - 5 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 z (z + 1) - 5 (z + 1)}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $z + 1$ .

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 3

Factoriza $z^{2} + 6 z + 5$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $6$ .

$1, 5$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{(z + 1) (z + 5)} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 4

Cancela el factor común de $z + 1$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{(z + 1) (z + 5)} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $13$ de $13 z$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 (z) + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 5.1.2

Reescribe $13$ como $3$ más $10$

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + (3 + 10) z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 3 z + 10 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z^{2} + 3 z) + 10 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{z (2 z + 3) + 5 (2 z + 3)}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 z + 3$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Factoriza $9$ de $10 z^{2} \cdot (9 z) - 9$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $9$ de $10 z^{2} \cdot (9 z)$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z)) - 9}$

Paso 6.1.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z)) + 9 (- 1)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $9$ de $9 (10 z^{2} \cdot (z)) + 9 (- 1)$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z) - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $z^{2}$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $z$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 (z \cdot z^{2}) - 1)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $z$ por $z^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 (z^{1} z^{2}) - 1)}$

Paso 6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{1 + 2} - 1)}$

Paso 6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $z + 5$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $z + 5$ de $(2 z + 3) (z + 5)$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$(3 z - 5) \frac{2 z + 3}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Paso 7.2

Multiplica $3 z - 5$ por $\frac{2 z + 3}{9 (10 z^{3} - 1)}$ .

$\frac{(3 z - 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$